칼럼10) 소소한 테크닉
나름 알려진 편이고, 은근히 유용하며 개념적으로도 의미가 있는 '소소한' 테크닉 하나를 소개해드릴까 합니다.
이미 알고계신 것도 있을 거고, 아마 처음보는 것도 있을거에요!
이는 e^x의 재밌는 특징에서 시작됩니다.
y=e^x는 도함수가 e^x이죠. 원함수와 도함수가 식이 같다는 겁니다. 즉, 원함수의 함숫값이 그 점에서의 미분계수인 셈이죠. x=a에서 함숫값은 e^a, 미분계수도 e^a일겁니다.
기울기가 e^a라는 것은, x축으로 1 이동할 때 y축으로 e^a만큼 이동한다는 뜻이죠. 그런데 마침 이 지수함수 위의 점(a,e^a)는 함숫값이 e^a네요.
여기서 다음 사실을 알아낼 수 있습니다.
e^x 위에 점 (a, e^a)에서의 접선은 x절편이 a-1이겠네요!
이걸 뒤집어서 말하면, (b,0)에서 y=e^x로 접선을 그으면 접점은 x좌표가 b+1인 곳에서 생긴다는 겁니다. 기울기는 e^(b+1)이 되는 것이구요.
y=e^x 뿐만 아니라 얘가 평행이동되었을 때도 마찬가지입니다. 그 함수의 점근선 위의 점에서 접선을 날렸을 때 접점은 x좌표가 1 큰 곳에서 생깁니다.
아래 문제에 적용해보겠습니다.
기출 문항입니다. 이미 다들 잘 알고 계실 것 같습니다.
최대인 순간은 바로 나오지 않아서 계산을 좀 해줘야 하지만, 최소인 순간은 분명하죠. 기울기인 양수 a가 최대인 순간과 y절편인 음수 b가 최소인 순간이 일치하는데, 다음과 같이 양쪽에 동시에 접할 때입니다.
(그림 출처: ebs)
일단 대칭에 의해 x절편이 3/2인 걸 캐치한 상황에서, 접한다는 정보를 이용해 a를 구해야 합니다. 이때 앞서 알려드린 소소한 테크닉을 이용해볼게요. 그림에서 표시된 t가 3/2보다 1만큼 큰 5/2겠죠. x=5/2일 때 f(x)의 함숫값은 루트 e입니다. 따라서 이 순간에 a는 루트e네요.
물론 s를 이용해서 구하셔도 됩니다. s의 경우에는 x좌표가 1/2이 되겠죠. g(1/2)= -루트e니까 기울기는 루트e여야겠지요. (g(x)는 아래로 그려진 상황이니까 -부호를 빼줘야 합니다.)
어찌됐건 직선을 이렇게 완성할 수 있겠습니다. 훨씬 간편하죠!
평행이동뿐만 아니라 확대축소됐을 때에도 이런 정보를 뽑아낼 수 있습니다.
이 함수의 경우에는 x축 위에 (a,0)에서 접선을 날렸을 때, 그보다 x좌표가 1/5만큼 큰 
이 점에서 접점이 생기겠죠. 함수가 5배 축소되었으니 앞서 말씀드린 1차이난다는 경향성도 5배 축소하여 1/5이 되었다고 생각하시면 되겠습니다. 주의할 점이 있다면, 이때는 미분계수도 5배를 해줘야 하겠네요. 그래서 식을
다음과 같이 써낼 수 있습니다. 근데 이건 실수 가능성도 있어보이니(???: 아 ㅆ 5배 안했다) 이건 검토용으로 사용하시면 좋을 것 같습니다.
이 특징은 y= lnx 에서도 당연히 읽어낼 수 있겠죠. 대신 1 차이 난다는게 x축이 아니라 y축의 얘기로 바뀝니다.
e의 x승 놈을 뒤집은 거로 봐도 괜찮고, lnx의 도함수가 1/x이란 것에 착안하여 기울기 해석을 하셔도 됩니다. (기울기가 1/m라는 것은, x축으로 m 증가할 때 y축으로 1 증가한다는 뜻!)
한편, 다음과 같은 의문이 드실 수 있습니다. "왜 하필 e^x에서만?"
적절한 의문이죠. 사실 이 얘기는 모든 지수함수에 대해 가능합니다.
얘도 원함수와 도함수가 상수배 차이나는 꼴이므로 다음 정보를 이끌어낼 수 있습니다.
a=e일 때는 저 차이가 1이 되었던 거죠.
준비한 내용은 여기까지입니다. 원함수와 도함수가 관계되어있다는 지수함수의 성질을 이용한 재밌는 해석이었다고 생각합니다. 앞으로도 재밌는 칼럼과 자작문제 많이 보여드리겠습니다. 유익했다면 좋아요 부탁드리고, 팔로우 해두셔서 꼭 확인해보세요!
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
이렇게 일찍하냐;; 개힘들게 하
-
실수도 실력임 2
근데 운은 실력이 아니라고 생각함 내가 실전에서 실수로 틀린 건 반성해야하지만 운의...
-
기하 안하시는 이유가 머죠 공부량이든 난이도든 기하가 압도적으로 수월할텐데 표점도...
-
생각해보면 계산실수도 잦고 그냥 풀이 방향성 찾는 거만 잘하는 듯
-
삼수생 조언 0
약대 목표입니다 1. 7월까지 공부하다가 공군입대 후 26 27수능 2. 쌩삼수...
-
생윤 47점인데 진학사랑 메가에선 표점 74라는데 고속에선 66으로 뜨네요…??...
-
미적: 아 미적 왜했지 확통할걸 기하를 해야한다는거임..
-
제 생기부 확인할 수 있나요?
-
배성민T 드리블 0
내년에 배성민쌤 드리블 수강 할 예정인데 겨울방학에 학원에서 하는 실전개념 한 후에...
-
잘자 해줘 4
안하면 나 몬자..
-
그냥 이제 내 소유임 ㅇㅇ
-
졸리 다는거임 0
잘게용
-
수시 쓸 땐 제발 의대 납치 되게해달라고 빌었는데 정작 수능에서 100 96 1...
-
미적30번풀어봄 0
기냥 잘 흘러흘러풀먼 풀리겟네요
-
자기~~
-
피드백 해주세요. 여친한테 선물하고 싶어서
-
미적28벜풀어봄 0
갠적으로뽀인트 1. gx 구하고 x*gx 미분하고 1너으면 답이되므로 g구하고...
-
인생그냥답이없네 0
ㅋㅋ왜살까
-
5월 23일임 노린 거 아님 참고로 커뮤는 오르비만 함
-
삼수,삼반수 1
현역 87478에서 재수 45422 까지 올렸습니다 현역때는 공부를 안했던 것도...
-
성격 존나 더러워짐 이젠 일 안하지만 아직 신경질적인게 남아있는듯
-
질문 받음 7
고졸 무직 걸그룹 마스터 야구 중독자
-
약대.25학번 예정인데 공부량 많음? 지금부터 물1,2 생2,화2 공부해서...
-
당신도 예비 의대생 1일 1의학 문제 (241117) 2
31세 여자가 혈압이 낮다고 병원에 왔다 오른쪽 팔에서 측정한 혈압 측정 결과...
-
-
200 ㄷㄷ
-
건국대는 경북대가 못비비는거 맞는 것 같은데 저는 동국대 홍익대 공대보다 경북대...
-
발이 그만큼 좋단거임..
-
현역 수능결과 3
미적 85 영어 89 생1 45 수시러인데 현역으로 이정도면 몇타치임?
-
되면 망원경 하나 만들거임 진지하게 가능함?
-
대성패스 3월 1
대성패스 지금 안 사고 3월쯤 사려고 하는데 저 때는 가격 얼만가요?
-
성논 수1 수2가 범위인 걸로 아는데 미적 내용인 매개변수 치환적분 이런거 쓰면 안 되는 거죠??
-
인강신규런칭 0
대성 물리 신규 런칭이 누구일지 궁금한데 보통 언제쯤 나와요??
-
그런 법은 제정되지 안ㄹ앗단거임 실제로 국회갓는데 업엇음
-
공대 갈때 물2/기하/확통 안하고 가면 적응 힘든가요? 기계나 전기전자...
-
순위가 교과쓴 374명중 118등임 여기서 최저 충족률 40퍼라 치면 실제 몇등정도라 생각해야함??
-
교차 상관없어요... 어디 갈 수 있을까요 여대도 상관 X
-
찐따라는거임.. 어차피찐다일거면 존예아싸여고생하고싶다는거임 구냥 히토리쟝되고싶다.....
-
연대 약대, 한양대 약대 점공 11등정도 됨. 최저 둘다 맞춤. 앞에 몇명 정도 최저 미충족일까요
-
왜냐면 사실 생각보다 베이스의 역할이 크기때문임 실제로도 나는 결속밴드에서 최애가...
-
으흐흐 4
오빠가 알려줄게
-
( ՞•ﻌ•՞ )
-
최소한 만점이면 백분위 100은 나오는 선에서 난이도 쉽든 어렵든 뭐든 상관없는거아님?
-
공1 선2
-
대학을잘가게된다면.. 오르비상주하면서 도움을 주고싶구나 공부해보고싶어도...
-
노재능충이라는거임..
-
미방짤로 무엇을 할까
-
슬슬자볼가 0
뻥이라는거임
-
올해 대학와서 얻은 것들도 많은데 이정도면 등가교환인가 하.. 미적 늦게 시작한게 후회되네
-
3000천명 이란 썰도 잇고 머 600명대란 말도 잇던데 1500명- 2000명...
오늘도 개ㅊ를 벅벅
오우쉣
ㄷㄷ
무슨 말인지 이해 못하는 문돌이들 개추 ㅋㅋㅋ
무민귀여워요
으악 미적이다
으악악
아니 ㅅㅂ 이게 뭐지.,?