정시 발표가 나고 많은 수험생분들이 23수능을 준비하기 시작할 무렵, 개념 학습을 함에 있어서 많은 분들에게 가이드가 있으면 좋을 것 같다는 생각이 들어, '개념 학습법'이라는 주제로 오랜만에 글을 작성합니다. 이미 본인의 스타일대로 잘 하고 계신다면 또다른 관점으로서 참고하셔도 좋을 듯합니다.

이 글은 공통 과목을 예시로 들어 최대한 쉽게 쓰였으나, 깊게 읽는 것이 이해에 도움이 될 것입니다. 또한 모든 성적대의 학생들에게 도움이 될 수 있으나, 베이스가 있는 분들에게 더 유익할 것으로 판단됩니다.

"초등학교와 중고등학교 12년 간 수학을 배웠지만 실생활에 쓸모가 없다고 믿는 사람들은, 비록 공식이나 해법은 잊어버렸을망정 수학 학습에서 얻어진 논리적 사고력은 그대로 남아서, 부지불식중에 추리와 판단의 발판이 되어 일생을 좌우하고 있다는 사실을 미처 깨닫지 못하는 사람들이다."

위는 ｢수학의 정석｣ 머리말의 한 문장입니다. 수학을 공부하면서 자연스레 논리력과 사고력이 증진되고, 이것이 다른 학습의 밑거름이 되며 앞으로 찾아올 무수한 선택의 기로에서 합리적인 판단을 하여 건강한 삶을 영위하는 데 도움을 줄 것입니다. 즉, 우리가 수학 공부를 하는 것은 '시험을 잘 보기 위해서'이지만, 효율적이고 효과적으로 실력을 향상시키기 위해서는 논리력과 사고력의 신장을 수학 학습의 제1의 목적으로 삼아야 합니다. 이를 개념 학습에 적용하려면 어떻게 하면 될까요?

학문으로서의 수학과 과목으로서의 수학은 꽤 차이가 있지만

수학은 우주의 질서를 탐구하는 학문으로서 없는 걸 만들어내는 것이 아니라 있는 그대로의 자연을 이해하는 것을 목적으로 합니다. 이해한 내용(B)을 체계적으로 정리하기 위하여 새로운 용어(A)를 도입해 사용하는 것이고, 이 용어는 원활한 의사소통을 위한 도구이며 약속에 지나지 않습니다. 하지만 배우는 입장에서는 이 도구(A)를 먼저 알아야 의사소통(B)을 할 수 있기 때문에, 정의가 매우 중요합니다. 수학의 모든 개념은 정의로부터 시작되는데, 이는 약속이므로 있는 그대로 받아들이는 수밖에 없습니다. 반면에 수학적 용어의 정의(A)로부터 도출되는 공식, 법칙, 정리, 계 등의 내용과 그 흐름은 개념 그 자체(B)이기 때문에 있는 그대로 받아들인다(A)기보다는 이해하고 스스로 도출해(B)낼 수 있어야 합니다.

교과서나 개념서 등을 보면 항상 위처럼 새로운 용어의 정의를 알려준 뒤에 법칙, 정리 등을 제시합니다. 박스가 없는 부분이 (A), 박스가 있는 부분이 (B)가 되겠죠. '등차수열이란 차례로 일정한 값을 더하여 만들어지는 수열이다.'라는 것을 있는 그대로 받아들이면, '첫째항에서 '그 일정한 값'을 (n-1)번 더한 게 n번째 항이 되겠네.' 또는 'k번째 항에서 '그 일정한 값'을 (n-k)번 더하면 n번째 항이 되겠네.' 등의 (A)에서 (B)로의 추론이 가능합니다. 즉, 용어의 정의를 있는 그대로 받아들이고, 나머지 내용은 충분한 생각을 통해 당연하다고 느끼면 됩니다. 이와 같이 개념을 '확장형'으로 공부하여야 합니다.

실제로 우리는 문제를 풀거나 개념을 확장시킬 때 늘 이러한 방향성이 있는 추론을 합니다.

위 두 명제의 참 또는 거짓을 판별할 때 다음과 같은 과정으로 결론을 내리는 경우가 많습니다.

[명제1]은 x=0에서 기울기가 무한대이니까 미분가능하지 않다. 따라서 명제는 참이다.

[명제2]는 x=0에서 불연속이니까 미분가능하지 않다. 따라서 명제는 참이다.

하지만 위 논리는 틀렸습니다. 정확하게는, 생략된 과정이 많습니다. 그래프에서 기울기가 무한대이면 미분가능하지 않은 것도 맞고, 고등과정에서는 불연속이면 미분가능하지 않은 것도 맞지만, 이것들은 미분가능성의 본질이 아니며 미분계수의 정의가 아닙니다. [명제1]에서의 f(x)와 [명제2]에서의 g(x)가 미분가능하지 않은 이유는 '평균변화율의 극한값이 존재하지 않기 때문'입니다.

미분계수의 정의에서, x=a에서의 평균변화율의 극한값이 존재하면 미분가능합니다. 평균변화율의 정의는

위와 같고, 극한값이 존재한다는 말의 의미는 아래와 같습니다.

즉, 함수가 x=a에서 미분가능하다는 것은, x=a에서의 평균변화율의 극한값이 존재한다는 것이고, 이는 x=a에서 x의 증분에 대한 y의 증분의 비의 좌극한과 우극한이 모두 존재하며 그 값이 서로 같음을 의미합니다. 이때, 좌극한과 우극한이 존재한다는 것은 그 극한값이 '일정한 값'이어야 합니다. [명제1]에서의 f(x)는 x=0에서 평균변화율의 좌극한과 우극한 모두 발산하므로 극한값이 존재하지 않고, 따라서 미분가능하지 않습니다. [명제2]에서의 f(x) 또한 마찬가지로 평균변화율의 좌극한과 우극한 모두 발산하므로 극한값이 존재하지 않고, 따라서 미분가능하지 않습니다.

이와 같이, 용어의 정의를 바탕으로 방향성을 가지고 확장형으로 개념 학습이 이루어져야 합니다. 위 예시에서 두 명제가 참인 이유가 각각 '기울기가 무한대라서', '불연속이라서'라고 해도 되는 거 아니냐구요? 위 내용을 흐름에 맞게 스스로 도출하여 알고 있는 것이라면 이미 본인의 개념이 확장된 상태이기 때문에 그래도 됩니다. 하지만 모르고 있었다면 또는 알고는 있지만 다른 사람이 알려준 것을 그대로 받아들여 알고 있는 것이라면, 정의부터 시작하는 습관들 들이는 게 좋습니다.

이렇게 정의로부터 개념을 확장하는 연습을 꾸준히 하신다면 지식을 온전히 본인의 것으로 만들 수 있고, 난관에 부딪힐 때에도 해결할 수 있는 힘이 되어줄 것입니다.

감사합니다.

세 줄 요약

1. 수학의 모든 개념은 정의로부터 시작된다.

2. 용어의 정의를 있는 그대로 받아들이고, 나머지 내용은 충분한 생각을 통해 당연하다고 느끼면 된다.

3. 내용과 그 흐름을 스스로 도출해낼 수 있으면 더욱 좋다.