고대 수리논술 2012모의
고대 2012 모의논술 에서 나온 수리논술 문제 있잖아요
답은 ''답이 없다'' 가 나와서 출제오류라던데
제대로 풀으려면 분자와 분모를 바꿔서 해봐야 된다는데
그러면 n x ( 2030 / 2031 )의 n승 으로 풀어야되는거죠?
이거 풀이법 아시는분?ㅠㅠ 저 식이 최대가 되는 n의 값을 구하는거예요..
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n 대신 x라고 놓고(x 양의 실수) f(x) = x c^x 의 최댓값? 최솟값? 구하는 문제 말씀하시는건가요? (단 c = 2030/2031 <1)
f ' = c^x (1 +x ln c) 이니까, x = - 1 / ln c 일 때 최대이겠군요. (좌우에서 f' 의 부호 생각해보면 좌측에서 +, 우측에서 -
즉, n값이 -1/ ln (2030/2031) = 1/ln (2031/2030) 에 가까운 두 자연수 중 하나일 떄 최대가 되겠네요.
참고로 ln (2031/2030) = ln (1 + 1/2030) 이고, x/(x+1) < ln (1+x) < x 임을 이용하면
1/2031 < ln (1 + 1/2030) < 1/2030 이니까 위 값은 2030과 2031사이의 실수이고, 따라서 n=2030 or 2031일 때 최대가 될거에요.
x/(x+1) < ln (1+x) < x의 증명은 (단,x>0 일 때)
g(x) = x - 1/ln(1+x) 및 h(x) = ln (1+x) - x/(x+1)라 두시고 미분하시면 됩니다.